林燃講完之後，在座做數論的專家們已經集體起來鼓掌了。

其他博士生或者其他細分領域的數學教授不太瞭解，也跟著禮貌鼓掌。

一時間，在座記者們摸不著頭腦。

等到他們的掌聲平息後，才找到身邊一個站起來的教授低聲問道：“我想問下，這個很厲害嗎？”

“非常厲害，教授又為解析數論找到了一塊基石，他今天講的這兩個結果，不僅僅能夠用在孿生素數猜想上，還能用在其他數論問題上。

教授不但找到了模數，還把模數範圍進行了擴張，模數範圍的增加直接增強了篩法和分佈分析的能力。

而他在裡面用到的雙線性模式和分散化技術，更是給我們做解析數論和篩法提供了新工具。

總之這已經是很牛逼的成果了。

一般的數學家靠這個就能拿菲爾茲了，光是有這個結果來一趟哥廷根就值了。”

恩里科·邦別里正是靠這個成果拿的1974年的菲爾茲，他把模數範圍從1/2擴充套件到4/7，對標準定理做重大改進都要到1987。

相當於林燃現在的內容至少也夠兩個菲爾茲。

然而這僅僅只是開始。

在座的數學家，但凡做數論的，感覺都要高潮了。

“好，各位我們現在把模數推進到了七分之四，抱歉，時間緊張，所以我就不做討論了。

大家有疑惑可以先記下來，我儘量答疑，如果這次沒時間，我回紐約的時候在哥倫比亞大學再做答疑。”

臺下福克斯高聲喊道：“好，沒問題，教授，你繼續吧。”

多伊林已經無語了，你叫什麼勁啊，這又不是你們的主場，阿美莉卡人都這麼令人討厭嗎！不過考慮到這是前所未有的場合和時間，他沒有發飆。

“我們現在要繼續推進了。”

林燃在黑板上寫了一個新的公式：這個公式在60年後，叫elliott-halberstam猜想，eh猜想由elliott和halberstam在1968年提出，發表在《symposia mathematica》上，直到2025年該猜想都沒有被證明。

這麼說吧，這個猜想被證明的話，意味著素數在模數≤1的算術級數中的分佈誤差可以被有效控制，遠超標準定理的二分之一。

孿生素數的k=246，能夠迅速被推進到k=6，幾乎離孿生素數猜想需要的k=2，只有一步之遙了。

像nathalie debouzy在2019年的成果，就透過改進漸進篩法，假設eh猜想成立的話，存在無窮多幾乎孿生素數，什麼叫幾乎孿生素數，意思是p為素數，p-2為素數或半素數。

eh猜想是如此重要，後世的數學家們甚至都已經開始假設它成立了。

也就是說，林燃現在無法再依賴後人智慧，得完全靠自己把eh猜想先給幹掉。

甚至可以這麼說，eh猜想是模數無限接近於1的猜想，而如果要把eh猜想再往前推，也就是直接就是1，這需要全新的數學框架。

因此進入到這個環節之後，林燃的速度明顯慢了下來。

因為更要命的在於，林燃沒有辦法直接用六十年後現成的定理或者引理，所有六十年後要用的工具都得現場在哥廷根大學的大會堂裡重新造一遍輪子。

“雙線性形式與分散化，不行，這個最多推進到七分之四。”

“type ii估計，靠短區間分佈控制和平滑模數最佳化，也不行，它還是推不到這個程度。”

“l函式零點關係會是條路。

eh猜想涉及平均模數q的誤差項，而每個q對應一個 dirichlet字元x(mod q)，其l函式的零點影響分佈。

bombieri-vinogradov定理的證明依賴零點密度估計，控制l函式在re≈1附近零點的數量。

eh猜想需要更強的零點控制，這就涉及零點在臨界帶內的分佈規律。然後再借助grh的間接支援.”

林燃在黑板上寫了又擦，擦了又寫。

在座的學者們都很清楚，這個問題很重要。

光是這個猜想本身就已經足夠有價值了。

一直持續到晚上十一點，林燃開始加快粉筆書寫的節奏，片刻沒有停頓。

旁邊負責幫他換黑板的學生都換了兩茬。

他一點沒有停頓的寫滿了整整三十張黑板。

臺下坐著的教授也就那麼二十來個人，地上用睡袋席地倒下的人還更多。

隨著粉筆摩擦黑板的聲音越來越明顯，越來越快，醒著的把睡著的叫起來。

大家注意著黑板上的內容。

“這是？”

“沒錯，倫道夫找到出路了。”

“我們確實是在見證歷史，孿生素數猜想只是最後的目的地，我們現在在欣賞前往目的地沿途的風景。”

“我剛睡過去了，倫道夫選擇的是哪條路？”

“我想應該是將描述zeta函式零點的差分分佈，擴充套件到dirichlet l函式，去影響算術級數的平均行為。若零點分佈符合隨機矩陣模型，那麼就意味著能支援他的猜想的誤差控制。”

“這是個思路，但是否可行還得看他的具體設計了。”

林燃寫完後，看著眼前的成果，有一種由衷的成就感：“好了，今天就到這裡為止了。

大家可以看一下，我已經要困得不行了。

當前結果深化了我們對素數分佈的理解，為孿生素數猜想的證明造出了前置工具。

它的突破性在於超越了過往模數的限制。

最後這個猜想的證明過程，我分析了dirichlet l函式的非平凡零點分佈。

透過假設零點在臨界帶內足夠稀疏，估計了誤差項的平均行為。然後設計一種新型篩法，結合雙線性形式估計和分散化技術，最佳化了模數分解，突破傳統方法的瓶頸。

最後透過一個新引理，控制高維指數和，確保誤差項滿足猜想要求。”

林燃最後在黑板上做了一些註釋。

“大家，我先去睡了，預計六個小時之後繼續。”

林燃沒有離開，直接去大禮堂邊上的小房間休息。

臺下教授和博士們都已經擠到前面來，看黑板上的內容。

今天一整天，林燃一共寫了整整三十塊黑板。

邦別裡-維諾格拉多夫定理和邦別裡-維諾格拉多夫定理的增強形式容易理解。

而且本身普林斯頓就已經做出了邦別裡-維諾格拉多夫定理，所以他們對邦別裡-維諾格拉多夫定理和其增強形式都理解的很快。

到了eh猜想。

因為此時eh猜想本身都還沒有，林燃相當於從猜想提出到證明，自己一手包辦了。

“太美了，簡直就是藝術品。”

“這是超級增強的成果。”

“這裡有簡化空間嗎？”

“不是，零點密度估計、配對相關猜想可能能夠把教授關於這一猜想的證明進行簡化，不過我們還得好好想想。”

“關於控制高維指數和，來確保誤差項能夠滿足猜想要求的角度太過於巧妙了。”

“不行，我得趕緊回去把今天的成果發給還在學校的同行。”數學論文用電報不太現實。

理論上，可以將數學論文簡化為純文字，編碼為ascii或baudot字元，分段透過電傳傳送，實際上非常難精準表達。

現在一般用傳真機掃描論文，直接把圖傳過去。

由於傳真成本太高，即便哥廷根作為大學城，也就只有那麼寥寥數臺傳真機器。

但架不住林燃今天的結果非常驚人，無論是結果本身，還是用到的方法，都讓做數論的學者們心潮澎湃，想要第一時間分享給本校同僚，以及喊他們趕緊來哥廷根見證奇蹟。

休假？這種時候還休什麼假，來哥廷根現場見證奇蹟才是最重要的。

即便是深夜，但在座的學者們，無論剛才是否有休息，現在都變得精神百倍。

考慮到林燃已經進旁邊的休息室休息了，他們壓低聲音在討論今天的成果。

“不管怎麼說，光是前面能夠把模數推進到這個程度，這已經是非常了不起的成果了。”

“了不起？起碼也是本世紀數論領域最重要的成果之一。”多伊林糾正道。

“西格爾教授，不不不，還沒到最終下結論的時候，還有五天時間，從今天的成果來看，倫道夫未必不能把孿生素數猜想給完成。

某種意義上來說，孿生素數猜想是堪比哥德巴赫猜想的結果了。

如果他能夠完成的話，那麼這毫無疑問就是本世紀數論最重要的成果，我們可以把之一去了。

除非本世紀剩下的三十五年時間裡，有人能夠完成哥德巴赫猜想的證明。”來自法蘭西的頂級數學家讓·皮埃爾說道（27歲拿下菲爾茲，集數學三大獎於一身）。

他過去一直做的是交換代數和代數拓撲，在最近這十多年時間裡轉而和格羅滕迪克合作，做代數幾何。

他接著說道：“我過去對數論想的太簡單，有太多分析上的工具可以應用在數論領域。

我想我們現在做數論的數學家們對分析的掌握和倫道夫差的太遠了。”

西格爾苦笑道：“我們不能拿倫道夫作為標準去要求年輕的學生們，這未免有點太過分了。”

皮埃爾搖頭道：“不，我不是說要拿倫道夫在分析上的紮實功底去要求年輕的博士，而是我們對年輕學者們的培養，不能說他做的課題是數論，就放鬆對其分析能力的要求。

做數論的，分析能力應該要和做分析的博士相仿，做分析的博士對代數的瞭解要和做代數的博士相仿才對，自從倫道夫提出了倫道夫綱領之後，我們愈發認識到不同細分數學領域之間本質上有著非常緊密的聯絡。

我們應該要推動年輕學者們任何一門都不能放鬆，我們得培養全能學者。”

西格爾說：“你打算回巴黎高師之後推動按照這個標準要求巴黎高校的數學系學生們？

這不又是往回走了嗎？”

西格爾這裡說的往回走是指，早期大家都培養全能數學博士，後來隨著現代數學越來越抽象，人的精力有限，所以不再要求學生們全精，因為一般人做不到這點。

“沒錯，試試吧，至少得按照這個標準去要求最有天賦的那批年輕人。”皮埃爾點了點頭，視線依然聚焦在黑板密密麻麻的公式上。

西格爾年紀比皮埃爾更大，他充分理解對方想要表達的意思：“你是說數學在轉變，我們培養人才的觀念也需要轉變？”

皮埃爾點頭：“沒錯，倫道夫用行動和成果揭示了不同數學分支之間存在的關聯，這種關聯越發明顯，我在和格羅滕迪克溝透過程中，我們都是這樣認為的。

也許是倫道夫，也許是別人，總有人能夠將倫道夫綱領做提出的理念變成現實。

站在現代數學又要走進新階段的當下，我們也應該要及時轉變培養年輕數學家的策略。

另外我的私心在於，我也想為法蘭西挖掘倫道夫這樣的人才。”

“沒有觀眾想看這樣的電視節目，教授幾乎不說話，一說就是非常專業的數學知識，別說我，就連現場的數學博士、數學教授們能夠完全聽懂教授在說什麼的都沒有多少。

我們的觀眾，想要更多的資訊，我們現在的直播是完全錯誤的。”節目總監赫爾曼·施密特說道當天深夜，除了數學家們睡不著，ndr的工作人員同樣睡不著。

除了一開始直播有很多觀眾，後來人數越來越少。

因為大家看不懂。

ndr漢諾威分部會議室煙霧繚繞，木桌上散落著檔案、菸灰缸和咖啡杯，牆上掛著ndr標誌和節目表。

赫爾曼接著說道：“我們得解決這個問題。

教授的講座才播了一天，觀眾投訴就堆滿了桌子。

有人說這是外星語言，還有人威脅要換臺。

我們不能坐視不管，六天直播怎麼辦？”

赫爾曼頭都要禿了。

本來以為這是史無前例的一次火爆直播，結果確實火爆，只火爆了前面半個小時。

半個小時之後就全是投訴了。

“電話從播出後就沒停過，觀眾說他們想看教授講話，但不是這種滿屏公式的講座。

有人甚至問我們是不是播錯了頻道！我們得采取行動，不然觀眾會流失。

能不能和教授溝通，讓他講講登月中的趣事？講講航天和月球，現在現場挑戰孿生素數猜想，我承認這很有意義，全球數學家都在關注，但我們是不是高估了觀眾的接受程度？”

臺長韋伯是半個小時前才趕到辦公室來的，他無奈道：“誰去讓教授調整內容？

你去嗎？你有這個面子嗎？擺明了教授現在要做的就是在哥廷根創造奇蹟，能讓他改變主意的人在白宮，你得先找到林登約翰遜總統，然後再由他去和教授交涉。

我們沒人能做到這一點。

而且這是歷史性事件，ndr有責任直播這樣的學術盛事，我們不能因為觀眾的意見就放棄。

這樣我們可以預錄一些解說片段，每天直播前後播出，解釋基本概念，教授講完之後，和柏林方面聯絡，讓他們派數學系教授前來支援。

我們需要比我們更專業，但又比教授本人更能用通俗化語言表達的人來講給觀眾們聽。

總之，赫爾曼，記住，ndr不是娛樂頻道，我們是公共廣播，教育是核心使命，倫道夫的講座代表了哥廷根乃至德意志的學術傳統，我們不能向觀眾投訴低頭！我們在直播傳奇的誕生。”

赫爾曼問：“我只有一個問題，教授如果失敗了怎麼辦？”

韋伯的看法和林燃一樣：“教授失敗了也同樣是傳奇。”

進入到第二天之後，進展仍然迅速，因為說白了先把gpy篩法講解一遍，然後就迅速推進張益唐的成果。

第三天的晚上，這個數字已經出現在了黑板上。

十五分鐘的註解寫完後，臺下能看懂的教授已經在安靜的鼓掌了，只有動作沒有聲音。

對於孿生素數猜想本身來說，這已經是史詩級突破了。

“各位，我們現在已經向孿生素數猜想的終極目標邁出了關鍵一步。

我們已經順利找到了一個數字，一個明確的數字，是的，這個數字能夠使得有無限多素數對，它們的差不超過n。

這個n就是7000萬。”

林燃說完後，臺下掌聲從小到大，儘管臺下的人數只有一百來號人，但掌聲在這個深夜卻顯得格外清晰。

此刻還能堅持在電視機前看直播的觀眾，或者巧合下開啟電視的觀眾，被這陣掌聲所提醒，他們意識到有了不起的大事發生。

現場的數學博士們則從這陣掌聲中聽到了，一群人類頂級大腦在為另一顆頂級大腦的智慧閃光而歡呼。

等掌聲平息後，林燃接著說：“這是人類歷史上首次為素數間的距離設定了上限。

塞爾伯格的篩法為我們提供了捕捉素數的網，我們在第一天證明的定理揭示了素數在算術級數中的分佈奧秘。

結合上述這些工具，我在這兩天開發了一種新型篩法，最佳化了誤差項的控制，證明了有限間隙的存在。

這一證明只是開始！它為孿生素數猜想的最終解決鋪平了道路，我們剩下的是在未來三天時間，把n從現在的7000萬，推進到孿生素數猜想所明確要求的數字2！”

。